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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
%Other possible values are: 1610, 149, 54, 43 and 32. By default, it is to 128mm by 96mm(4:3).
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\begin{document}

\title{高等代数二}
\subtitle{7-5-本征值和本征向量 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
%\date{{\ppr 2023年3月9日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.5.i. 作业：星期天晚上十点半之前在网络教学平台提交 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item   整理课堂笔记，补充没写完的计算或证明。
\item   习题(7.5)\#1,3,7, 抄写题目。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.ii. 目录 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[7.5.1] 线性变换的本征值和本征向量的定义
\item[7.5.2-5] 例子
\item[7.5.6] 如何计算线性变换的本征值
\item[7.5.7] 矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的定义
\item[7.5.8-9] 例子
\item[7.5.10]  矩阵的特征值与矩阵的迹和行列式值的关系
\item[7.5.11] 例子
\item[7.5.12] 例子

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.5.iii. 课堂讲解重点 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  线性变换的本征值和本征向量
\item  矩阵的特征多项式、特征值和特征向量


\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.1. 本征值和本征向量的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}问题：什么是线性变换的本征值和本征向量？}

\item 解答：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个向量空间，设 $\sigma:V\to V$ 是一个线性变换。设数 $\lambda\in F$ 以及非零向量 $\alpha\in V$. 如果 $\sigma(\alpha)=\lambda\alpha$, 那么我们
\begin{enumerate}
\item 称 $\lambda$ 是线性变换 $\sigma$ 的一个本征值，
\item 称 $\alpha$ 是线性变换 $\sigma$ 的属于本征值 $\lambda$ 的一个本征向量。
\end{enumerate}

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.5\textheight,width=0.8\textwidth]{pic/eigenvalue-eigenvector-1.png}
%\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.2. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $\alpha$ 是线性变换 $\sigma$ 的属于本征值 $\lambda$ 的一个本征向量。设 $k\in F, k\neq 0$. 那么 $k\alpha$ 也是线性变换 $\sigma$ 的属于本征值 $\lambda$ 的一个本征向量。
}

\item  证明：

\begin{enumerate}
\item  因为 $k\neq 0$, $\alpha$ 不是零向量，所以 $k\alpha$ 不是零向量。
\item  另一方面，因为 $\sigma$ 保持线性运算，以及 $\alpha$ 是本征向量，所以 
$$\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)=k\lambda\alpha=\lambda(k\alpha).$$
\item  根据本征向量的定义，$k\alpha$ 也是 $\sigma$ 的属于 $\lambda$ 的一个本征向量。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.3. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V=\mathbb{R}^3$ 是立体空间，设 $\sigma:V\to V$ 把每个向量映到它在 $Oxy$ 平面的正投影。即 $\sigma( (x,y,z) ) = (x,y,0)$. 证明 $0$ 和 $1$ 都是这个正投影的本征值，并求出相应的本征向量。
}

\item 解答：根据 $\sigma$ 的定义，可得 
\begin{align*}
\sigma( (0,0,z) ) &= (0,0,0)=0\cdot(0,0,z), \\
\sigma( (x,y,0) ) &= (x,y,0)=1\cdot(x,y,0). 
\end{align*}
所以 $Oz$ 轴上的非零向量是本征值0的本征向量，$Oxy$ 平面上的非零向量是本征值1的本征向量。
%\item 

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.3. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}问题：画一个立体空间的正投影的插图。}

\item 解答：

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.5\textheight,width=0.8\textwidth]{pic/eigenvalue-eigenvector-2.png}
%\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.4. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：记 $V=C^{\,\infty}(-\infty,\infty)$ 是定义在整个实数轴上的无穷次可微分实值函数全体组成的集合。可知 $V$ 在函数的加法和数乘下成为实数域上的一个向量空间。设 $\sigma:V\to V$ 是求导运算。则 $\sigma$ 是一个线性变换。证明每个实数都是这个线性变换的本征值。
}

\item 证明：对任意实数 $\lambda$, 我们要找非零向量 $f(x)$ 使得下式成立，
\begin{eqnarray*}
%{\color{red}\boxed{
\sigma( f(x) ) = \lambda f(x).
\end{eqnarray*}
这等价于 $f{\,'}(x) = \lambda f(x)$, 求解可得 $f(x) = c e^{\lambda x}$. 因此每个实数都是这个线性变换的本征值，属于本征值 $\lambda$ 的本征向量为 $ce^{\lambda x}, c\neq 0$. 

%\item 

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.5. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V=\mathbb{R}[x]$ 是实数域上的一元多项式全体组成的向量空间。设 $\sigma:V\to V$ 是求导运算。证明这个线性变换没有本征值。
}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  设 $\lambda$ 是任意一个实数。
\item  设有多项式 $f(x)\in V$ 使得 $\sigma( f(x) ) = \lambda f(x)$. 
\item  根据 $\sigma$ 的定义，可得 $f{\,'}(x) = \lambda f(x)$. 求解得 $f(x) = c e^{\lambda x}$, 其中 $c$ 是常数。  
\item  因为 $f(x)$ 是多项式，但是 $e^{x}$ 不是多项式，所以只能是 $c=0$.
\item  因此使得 $\sigma( f(x) ) = \lambda f(x)$ 的 $f(x)$ 只有零多项式。
\item  因为本征向量不能是零向量，所以实数 $\lambda$ 不是 $\sigma$ 的本征值。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.6. 如何计算线性变换的本征值}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间，设 $\sigma:V\to V$ 是线性变换。
设 $\Phi=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$ 是 $V$ 的一个基。设 $\sigma$ 关于这个基的矩阵是 $A$. 
设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的一个本征值，那么矩阵 $\lambda E-A$ 的行列式的值等于零，即 $$\det(\lambda E - A)=0. $$
}

\vspace{-0.5cm}

\item 证明：
%思路是向量方程 $\sigma(\alpha) = \lambda\alpha$ 等价于齐次线性方程组 $AK=\lambda K$. 
\begin{enumerate}
\item  设 $\alpha$ 是属于本征值 $\lambda$ 的一个本征向量。
\item  设 $\alpha = k_1\alpha_1+\cdots+k_n\alpha_n=\Phi\cdot K$, 其中 $K = (k_1,\cdots,k_n)^t$ 不是零向量。 
\item  因为 $\sigma$ 保持线性运算，以及 $\sigma$ 关于基 $\Phi$ 的矩阵是 $A$, 所以
\vspace{-0.2cm}
$$\sigma(\alpha) = \sigma(\Phi\cdot K) = \sigma(\Phi)\cdot K = (\Phi\cdot A)\cdot K = \Phi\cdot (A\cdot K). $$
\vspace{-0.7cm}

\item  另一方面，$\lambda\alpha= \lambda (\Phi\cdot K) = \Phi\cdot (\lambda K)$. 

\item  因为向量组 $\Phi$ 线性无关，所以从 $\sigma(\alpha) = \lambda\alpha $ 可得 $AK=\lambda K$. 
\item  因为齐次线性方程组 $(\lambda E-A)X=0$ 有非零解，所以 $\det(\lambda E - A)=0$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.7. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容


\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：什么是矩阵的特征多项式、特征值和特征向量？}

\item  解答：设 $A$ 是元素在数域 $F$ 中的 $n\times n$ 矩阵。设 $\lambda$ 是一个未知数。

\begin{enumerate}
\item 称多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda E-A)$ 为矩阵 $A$ 的特征多项式。
\item 称这个多项式的根，即使得 $\det(\lambda E-A)=0$ 的数 $\lambda$, 为矩阵 $A$ 的特征值。
\item 称齐次线性方程组 $(\lambda E-A)X=0$ 的非零解向量 $X$ 为矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。
\end{enumerate}

%\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight,width=0.5\textwidth]{pic/eigenvalue-eigenvector-3.png}
%\end{center}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.8. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：计算矩阵 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} 1&2 \\ -1&4 \end{pmatrix}$} 的特征值和特征向量。}

\item  解答： 
\begin{enumerate}
\item  首先计算特征多项式，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\det(\lambda E-A) = \begin{vmatrix} \lambda -1 &-2 \\ 1&\lambda-4 \end{vmatrix} =  (\lambda -1)(\lambda -4) +2 
= \lambda^2-5\lambda +6. 
\end{eqnarray*}
}

\item  然后计算特征值，从 $\lambda^2-5\lambda +6=0$ 可得 $\lambda_1=2$, $\lambda_2=3$. 

\item  最后对每个特征值计算相应的特征向量，
\begin{enumerate}
\item  从 $(\lambda_1E-A)X=0$ 可得 $X=k(2,1)^t$, $k\neq 0$.
\item  从 $(\lambda_2E-A)X=0$ 可得 $X=k(1,1)^t$, $k\neq 0$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\item  注：按定义，特征向量不能为零向量，所以要加 $k\neq 0$ 的条件。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
%\begin{frame}{7.5.7. 线性变换的本征值可以通过矩阵的特征值来求}
%
%\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容
%
%\begin{itemize}
%\item  {\color{red}问题：设 $\lambda$ 是线性变换 $\sigma:V\to V$ 一个本征值。设在 $V$ 的两个基 $\Phi$ 和 $\Psi$ 下，这个线性变换的矩阵分别为 $A$ 和 $B$. 证明 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，也是 $B$ 的特征值。  
%}
%
%\item 证明：
%\begin{enumerate}
%\item 设 $\sigma(\alpha)=\lambda \alpha$, 其中 $\alpha$ 是 $V$ 中的一个非零向量。
%\item 设 $\alpha$ 在 $\Phi$ 下的坐标是 $x=(x_1,\cdots,x_n)^t$, 即有 $\alpha=\Phi\cdot x$. 
%\item 设从 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的过渡矩阵是 $P$, 即有 $\Phi\cdot P=\Psi$. 
%\item 由 $\sigma(\Phi)=\Phi\cdot A$ 得 $\sigma(\alpha)=\sigma(\Phi\cdot x)=\sigma(\Phi)\cdot x=\Phi\cdot A\cdot x$.
%\item 由 $\sigma(\alpha)=\lambda\alpha$ 得 $\Phi\cdot A\cdot x=\lambda\Phi\cdot x$, 所以 $A\cdot x=\lambda x$.
%\item 所以 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。同样可证  $\lambda$ 也是 $B$ 的特征值。
%\end{enumerate}
%
%\item 
%
%\end{itemize}
%
%\end{frame}
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.9. 例子}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：实数矩阵 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$} 的实特征值有多少种不同情况？}

\item 解答：

\begin{enumerate}
\item  特征多项式为
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
\det(\lambda E-A) = \begin{vmatrix} \lambda -a &-b \\ -c&\lambda-d \end{vmatrix} =  (\lambda -a)(\lambda -d) -bc 
= \lambda^2-(a+d)\lambda +ad-bc. 
\end{eqnarray*}
}
\item  这个二次函数的判别式为 {\footnotesize $\Delta = (a+d)^2 - 4(ad-bc) = (a-d)^2+4bc$}. 
\item  因此结论是
\begin{enumerate}
\item  当 $\Delta>0$ 时，有两个不同的实特征值。
\item  当 $\Delta=0$ 时，有两个相同的实特征值。
\item  当 $\Delta<0$ 时，没有实特征值。
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.10. 矩阵的特征值与矩阵的迹和行列式值的联系}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的特征多项式有 $n$ 个特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 即 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots (\lambda-\lambda_n)$. 那么下述两个等式成立，
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n = \text{trace}(A)$.}
\item  {\color{red}$\lambda_1\lambda_2\cdot \cdot\cdot\lambda_n = \text{det}(A)$.}
%\item 特征多项式 $f(\lambda)$ 的 $\lambda^{n-1}$ 的系数为 $-\text{trace}(A)$. 
%\item 特征多项式 $f(\lambda)$ 的常数项为 $(-1)^n\det(A)$. 
\end{enumerate}
}

\item 证明：根据特征多项式的定义，
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
f(\lambda) = \det(\lambda E-A) = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} &\cdots & -a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} &\cdots & \lambda - a_{nn} \\  \end{vmatrix} = (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots (\lambda-\lambda_n).
\end{eqnarray*}
}
根据矩阵 $A$ 的迹定义为其对角线的元素之和，即 $$\text{trace}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn},$$ 由韦达定理可得。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.11. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $\sigma$ 是三维的实向量空间 $V$ 到自身的一个线性变换。设 $\sigma$ 在 $V$ 的一个基 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 下的矩阵是 

\vspace{-0.3cm}
{\footnotesize $$A=\begin{pmatrix} 3&3&2 \\ 1&1&-2 \\ -3&-1&0 \end{pmatrix}.$$ }
\vspace{-0.4cm}

}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。}
\item  {\color{red}求线性变换 $\sigma$ 的本征值和本征向量。}
\end{enumerate}

\item 解答：特征多项式 $f(\lambda)=\det(\lambda E-A)=(\lambda-4)(\lambda^2+4)$. 在实数范围内只有一个特征值 $\lambda=4$. 求解 $(\lambda E-A)X=0$, 得 $X=(k,k,-k)$, 其中 $k$ 为任意非零实数。
返回线性变换的语言，本征值4的所有本征向量为 $k(\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3), k\neq 0$.

%{\color{red}求矩阵 $A$ 的相似标准形？}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.5.12. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量，
$$A=\begin{pmatrix} 5&0&0 \\ 0&3&-2 \\ 0&-2&3 \end{pmatrix}.$$ 
}

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item 特征多项式为 $f(x)=(x-5)^2(x-1)$.
\item 属于特征值 $x=5$ 的所有特征向量为 $(k,m,-m)$, 其中 $k,m$不全为零。
\item 属于特征值 $x=1$ 的所有特征向量为 $(0,n,n)$, 其中 $n\neq 0$. 
\end{enumerate}

%\item  注：如何求矩阵 $P$ 使得 $P{\,}^{-1}AP$ 为对角阵？

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}[fragile=singleslide]{习题(7.5)\#1 }
%\begin{frame}{习题(7.5)\#1 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求下述矩阵在实数域和复数域内的特征值和相应的特征向量，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 3&-2&0 \\ -1&3&-1 \\ -5&7&-1 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
B=\begin{pmatrix} 4&-5&7 \\ 1&-4&9 \\ -4&0&5 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
C=\begin{pmatrix} 3&6&6 \\ 0&2&0 \\ -3&-12&-6 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
} }

\item  思路：先计算特征多项式，然后计算特征值，最后计算特征向量。

\begin{enumerate}
\item $\text{eig}(A)=\{2,2,1\}$.
\item $\text{eig}(B)=\{2+3i,2-3i,1\}$.
\item $\text{eig}(C)=\{-3,2,0\}$.
\end{enumerate}

\lstset{basicstyle=\scriptsize}
\begin{lstlisting}[language=R]
library(pracma)A=matrix(c(3,-2,0,-1,3,-1,-5,7,-1),nrow=3,byrow=T);print(A);eig(A)
\end{lstlisting}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.5)\#3 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $A$ 是一个二阶实数矩阵且行列式的值为1. 证明存在实数可逆矩阵 $T$ 使得 $T{\,}^{-1}AT$ 是下述矩阵之一，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} \lambda &0 \\ 0&\lambda^{-1} \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} -1&1 \\ 0&-1 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
\begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta \\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
这些矩阵称为二阶实数矩阵的相似标准形。
}

\item  思路：设 {\footnotesize $A = \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}$}, 其中 $a,b,c,d$ 都是实数。特征多项式为
{\footnotesize $ f (\lambda) = \lambda^2-(a+d)\lambda +1$. }
对判别式的三种情况进行讨论：
\begin{enumerate}
\item  当 $\Delta>0$ 时。
\item  当 $\Delta=0$ 时。
\item  当 $\Delta<0$ 时，特征值是一对共轭复根 $\lambda, \bar\lambda$, 而且 $\lambda\bar\lambda=1$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.5)\#7 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的第 $(k,k+1)$ 元素 ($1\le k\le n-1$) 以及第 $(n,1)$ 元素为1，其余元素为零。
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}计算 $A^2,A^3,\cdots, A^{n-1}$. }
\item  {\color{red}求 $A$ 的全部特征值。}
\end{enumerate}
}

\item  思路：先考虑 $n=3,4$ 的情形，按定义计算矩阵的特征值。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{ Greek Alphabet }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{center}
\begin{tabular}{lll} \\ \hline 
$A$ & $\alpha$ & alpha   \\ \hline 
$B$ & $\beta$ & beta  \\ \hline 
$\Gamma$ & $\gamma$ & gamma  \\ \hline 
$\Delta$ & $\delta$ & delta \\ \hline 
$E$ & $\epsilon\varepsilon$ & epsilon \\ \hline 
$Z$ & $\zeta$ & zeta \\ \hline 
$H$ & $\eta$ & eta \\ \hline 
$\Theta$ & $\theta\vartheta$ & theta \\ \hline 
\end{tabular}
%
\hspace{1cm}
%
\begin{tabular}{lll} \\ \hline 
$I$ & $\iota$ & iota \\ \hline 
$K$ & $\kappa$ & kappa \\ \hline 
$\Lambda$ & $\lambda$ & lambda \\ \hline 
$M$ & $\mu$ & mu \\ \hline 
$N$ & $\nu$ & nu \\ \hline 
$\Xi$ & $\xi$ & xi \\ \hline 
$O$ & $o$ & omicron \\ \hline 
$\Pi$ & $\pi$ & pi \\ \hline 
\end{tabular}
%
\hspace{1cm}
%
\begin{tabular}{lll} \\ \hline 
$P$ & $\rho\varrho$ & rho \\ \hline 
$\Sigma$ & $\sigma$ & sigma \\ \hline 
$T$ & $\tau$ & tau \\ \hline 
$\Upsilon$ & $\upsilon$ & upsilon \\ \hline 
$\Phi$ & $\phi\varphi$ & phi \\ \hline 
$X$ & $\chi$ & chi \\ \hline 
$\Psi$ & $\psi$ & psi \\ \hline 
$\Omega$ & $\omega$ & omega \\ \hline 
\end{tabular}

\end{center}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}










